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极坐标算二重积分详解
2021-05-18

首先进行换元x=rcost,y=rsint .做好这一步之后,接着确定r的范围.通常情况下r用t表示随后确定角度t的范围这时,原来的关于x、y的积分就转换成了关于rt的积分这时再根据需要确定先对r积分还是先对t积分最后求积分

作图可知,积分区域为第一象限内0度到45度的一个扇环内环半径1,外环半径2先对ρ积分,积分区间为[1,2]在对θ积分,积分区间为[0,π/4]注意到直角坐标系转换到极坐标可得x=ρcosθ,y=ρsinθ所以被积函数arctan(y/x)就是θ所以原式=∫[0,π/4]∫[1,2]θdρdθ=∫[0,π/4]θdθ=1/2θ^2|[0,π/4]=1/32π^2

极坐标代换,原式=双重积分rdrda/1+r^2 因为r的范围是[0,1],a是[0,2Pi]对不起,打不出Theta,用a代替 所以化作积分0,2Pida积分0,1rdr/1+r^2 最后得到是Pi*ln2计算从简,因为没法打出来,希望没算错……

1.变量代换x=rcost,y=rsint2.求出极坐标系下积分局域的表达形式(讲x,y代入)3.将被积函数做变量替换,同时dxdy=-rsintcostdtdr(Jacobi行列式消去了一个r,所以是r的一次方)4.在新的积分区域内求二重积分

解:(5)原式=∫<0,2π>dθ∫<π,2π>r*sinrdr (作极坐标变换) =2π(-3π) (应用分部积分法) =-6π^2; (6)原式=∫<0,π/2>dθ∫<1,2>θ*rdr (作极坐标变换) =∫<0,π/2>θdθ∫<1,2>rdr =((π^2/8)(2-1/2) =3π^2/16.

rdrdθ 是进行坐标变换的产物. dxdy=rdrdθ , 这是从直角坐标系变换到极坐标系. 其中的r是由雅可比行列式计算得出的. 也可以直接由面积公式计算, 极坐标下ds=rdθ * dr=rdrdθ 之所以只见到rdr, 是因为dθ提到前面去了 进行等量代换不一定都有几何意义的. f(rcosθ,rsinθ)rdr这种东西的几何意义可以理解为面密度为f(rcosθ,rsinθ)时圆的面积的1/π

直接用极坐标计算即可,积分=∫dθ∫rf(r^2)dr(r积分限0到R,θ积分限0到2π),而∫rf(r^2)dr=(1/2)∫f(r^2)dr^2=F(r^2)/2=[F(R^2)-F(0)]/2,其中F表示f的原函数,所以原积分=π[F(R^2)-F(0)].

原式=∫〔0到π/2〕dt∫〔0到1〕【rLn(1+r^2)】dr=π∫〔0到1〕【Ln(1+r^2)】d(1+r^2)因为,用分部积分法得到∫Lnudu=u*Lnu-∫du=u*(Lnu-1)+C★所以,本题在★中取u=1+r^2,得到=π【(1+r^2)*(Ln(1+r^2)-1)】代入1、0并相减,得到=π【(2Ln2-2)+1】=π【2Ln2-1】.

x=rcosa,y=rsina,下面只需求出角度a和半径r的范围,根据积分区域d,把x,y带入那个不等式,得到:r*r≤2*rsina,两边约去r,得到r≤2sina,注意到x大于0这个条件,它约束了角度a的范围,所以新的积分区域:-pi/2≤a≤pi/2,0≤r≤2sina,这样就能把原来的二重积分化为累次积分 原积分=∫da∫rdr,先计算∫rdr,下限为0,上限2sina,得2sina的平方,然后计算∫2sin^2ada,下限是-pi/2,上限是pi/2

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